螺旋錐齒輪具有傳動(dòng)比平穩(wěn)、承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)噪音低以及壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于航空、汽車(chē)、船舶等領(lǐng)域。但由于螺旋錐齒輪的齒面呈超越非線性方程、形態(tài)非常地復(fù)雜，導(dǎo)致螺旋錐齒輪的加工和測(cè)量難度很大。國(guó)外發(fā)達(dá)國(guó)家具有較高螺旋錐齒輪測(cè)量技術(shù)，因此研究螺旋錐齒輪的測(cè)量技術(shù)，對(duì)提高我國(guó)螺旋錐齒輪的加工和測(cè)量水平具有十分重要的意義。
高精度的測(cè)量方法直接影響著螺旋錐齒輪的加工精度。目前，三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是測(cè)量螺旋錐齒輪齒面的有效設(shè)備，不僅可以降低測(cè)量成本，而且具有較高的測(cè)量精度。隨著三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，其測(cè)量精度越來(lái)越高、應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，三坐標(biāo)測(cè)量技術(shù)也被廣泛的應(yīng)用于齒輪的精度測(cè)量。但是，如何進(jìn)一步提高測(cè)量精度和測(cè)量效率一直是研究學(xué)者關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題。邢彬建立了齒面數(shù)學(xué)模型，借助軟件分析了齒面離散點(diǎn)和齒輪實(shí)體模型，得到了有效的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。劉明亮利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)和三維掃描儀對(duì)螺旋錐齒輪的齒輪測(cè)量技術(shù)進(jìn)行的研究，并得到了有效的結(jié)論。武冠宏等建立了齒面方程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比表明了三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的對(duì)螺旋錐齒輪的測(cè)量偏差明細(xì)小于其他測(cè)量設(shè)備。皮春琳利用掃描式三維測(cè)頭對(duì)螺旋錐齒輪進(jìn)行測(cè)量研究，并完成了齒形和齒距等測(cè)量實(shí)驗(yàn)。張婧等利提出了一種自適應(yīng)分布法對(duì)螺旋錐齒輪齒面進(jìn)行測(cè)量研究，并驗(yàn)證了方法的有效性。高延峰等利用遺傳算法對(duì)具有復(fù)雜曲面工件的測(cè)量路徑進(jìn)行了優(yōu)化研究，提高了測(cè)量效率，但忽略了算法容易陷入局部最優(yōu)等缺陷。
本文針對(duì)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在測(cè)量螺旋錐齒輪齒面時(shí)路徑優(yōu)化問(wèn)題，建立了齒輪測(cè)量路徑模型，提出了利用粒子群算法(ParticleSwarmOptimization，PSO)對(duì)測(cè)量路徑進(jìn)行優(yōu)化分析。為了提高 PSO 算法的效果，對(duì)權(quán)重系數(shù)和學(xué)習(xí)因子進(jìn)行了改進(jìn)。最后，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文改進(jìn)的PSO算法具有較好的全局搜索能力、局部搜索能力和較高的運(yùn)算效率，且能獲得較好的測(cè)量路徑。
一、齒面測(cè)量路徑
眾所周知，螺旋錐齒輪的齒面時(shí)一個(gè)非常復(fù)雜的空間曲面，利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)來(lái)測(cè)量螺旋錐齒輪的齒面形狀，主要是預(yù)先設(shè)置好測(cè)量坐標(biāo)，然后逐點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。增加測(cè)量點(diǎn)數(shù)是提高測(cè)量精度的有效方法，但是隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)的增加，測(cè)量路徑的優(yōu)化就顯得尤為重要。當(dāng)確定了測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)后，測(cè)量路徑的優(yōu)化直接影響著測(cè)量效率，特別是在測(cè)量點(diǎn)分布不均勻時(shí)，這種影響更加明顯。此外，當(dāng)測(cè)量路徑規(guī)劃錯(cuò)誤時(shí)，勢(shì)必將導(dǎo)致測(cè)頭與工件發(fā)生碰撞。由此可見(jiàn)對(duì)測(cè)量路徑的是必不可少的，其不僅可以減少測(cè)量過(guò)程的空運(yùn)行，而且可在測(cè)頭與工件不碰撞的前提下以最短的路徑完成測(cè)量工作，從而提高測(cè)量效率。圖1所示為本文研究的螺旋錐齒輪齒面測(cè)量路徑示意圖。
圖1 齒面測(cè)量路徑
如圖1所示，利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在測(cè)量過(guò)程中，大致可以分為到達(dá)定位點(diǎn)、接近測(cè)量點(diǎn)和退回到回退點(diǎn)三個(gè)過(guò)程。首先，測(cè)頭以較快的速度到達(dá)指定的第一個(gè)定位點(diǎn)A，然后以測(cè)量點(diǎn) C的法向方向運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，如圖AC路徑所示;完成測(cè)量之后，退回至回退點(diǎn)B，如圖CB路徑所示。到此，完成一個(gè)測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量工作。之后，測(cè)頭運(yùn)動(dòng)至一個(gè)定位點(diǎn)D，測(cè)量點(diǎn)F，回退點(diǎn)E完成相應(yīng)的測(cè)量工作。因此，可以推出測(cè)頭完成一個(gè)測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量工作時(shí)，移動(dòng)的距離為：
式中，d1為定位點(diǎn)至目標(biāo)測(cè)量點(diǎn)之間的距離；d2為測(cè)量點(diǎn)至回退點(diǎn)之間的距離；d3為回退點(diǎn)至下一個(gè)定位點(diǎn)之間的距離。
若在整個(gè)齒面測(cè)量工作中，測(cè)量點(diǎn)的總和為 N，則齒面的測(cè)量路徑可以表示為：
通過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn)，不論測(cè)量點(diǎn)的選取情況如何，d1和d2均為固定值，即齒面的測(cè)量路徑只受d3的影響。因此齒面測(cè)量路徑的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以進(jìn)一步表示為：
式 中，(xi，yi，zi)和(xi+1，yi+1，zi+1)分別為第i和第i+1個(gè)測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值。
二、PSO算法的改進(jìn)
PSO算法：粒子群優(yōu)化算法是由Eberhart博士和 Kennedy博士發(fā)明的一種進(jìn)化算法，其源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食行為的研究。在 PSO 算法中，將所要優(yōu)化問(wèn)題的解都認(rèn)為是搜索空間的一只小鳥(niǎo)，并抽象為一個(gè)微小的粒子，延伸至N維空間。在N維空間中的每一個(gè)粒子描述為一個(gè)相對(duì)應(yīng)的矢量，粒子在空間中的飛行速度也描述為一個(gè)相對(duì)應(yīng)的矢量。PSO 算法本質(zhì)上是一種迭代優(yōu)化的算法，利用迭代來(lái)尋找最優(yōu)值。
在 PSO 算法運(yùn)算時(shí)，首先初始化一群隨機(jī)粒子，然后所有的粒子會(huì)跟隨當(dāng)前最優(yōu)粒子在 N 維空間中搜索，直至找到最優(yōu)解。若在 N 維空間中第i個(gè)粒子的速度為Vi =(vi，1，vi，2，…，vi，N )，位置為 Xi =(xi，1，xi，2，…，xi，N )，則在迭代過(guò)程中，粒子會(huì)跟蹤個(gè)體極值Pi =(pi，1，pi，2，…， Pi，N)和全局最優(yōu)解 Pg 來(lái)更新自己。即，粒子將以式(4)更新自己的速度和位置：
式中：ω為慣性權(quán)重；c1，c2為正的學(xué)習(xí)因子；r1，r2為隨機(jī)數(shù)，且r1，r2∈rand(1)。
PSO算法的改進(jìn)：傳統(tǒng)的 PSO 算法雖然具有較好的優(yōu)化性能，但是其在迭代過(guò)程中容易陷入早熟和局部最優(yōu)。因此為了提高 PSO 算法的性能，本文提出了以下方法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)：
(1)權(quán)重系數(shù)的改進(jìn)
權(quán)重系數(shù)直接影響了粒子對(duì)當(dāng)前速度的繼承量、粒子探索能力和開(kāi)發(fā)能力的均衡性。為了克服傳統(tǒng)權(quán)重系數(shù)線性遞減無(wú)法找到最優(yōu)點(diǎn)而陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，本文采用隨機(jī)權(quán)重法。首先，若在算法初期粒子接近最好的點(diǎn)，隨機(jī)權(quán)重法將產(chǎn)生較小的權(quán)重值 ，提高算法的收斂速度;若算法在初期無(wú)法找到最好的點(diǎn)，隨機(jī)權(quán)重法可使得算法跳出局部最優(yōu)。具體公式如下：
式中，N(0，1)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；rand (0，1)為0至1之間的隨機(jī)數(shù)。
通過(guò)式(5)可以發(fā)現(xiàn)，將權(quán)重系數(shù)設(shè)定為服從正態(tài)隨機(jī)分布的隨機(jī)數(shù)，這樣使得 PSO 算法在初期如果粒子接近最好的點(diǎn)，將具有較小的權(quán)重值，提高算法的收斂速度;如果在初期PSO 算法未能找到最好的點(diǎn)，則可使算法輕松的跳出局部最優(yōu)。
(2)學(xué)習(xí)因子的改進(jìn)
在PSO 算法中，除了權(quán)重系數(shù)之外，學(xué)習(xí)因子對(duì) PSO 算法的性能同樣也具有重要的影響。對(duì)于 PSO 算法，在算法初期較大的c1 和較小的c2，能使其具有更好的全局搜索能力，可較大范圍的尋找最優(yōu)解；在算法后期較大的 c2 和較小的c1，能使其具有更好的局部搜索能力。因此，為了提高綜合 PSO 算法的全局搜索能力和局部搜索能力，本文采用非線性變化方法對(duì)學(xué)習(xí)因子進(jìn)行改進(jìn)，具體如式(6)所示：
式中，Tmax為最大迭代數(shù)，t為當(dāng)前迭代數(shù)。
通過(guò)式(6)可以發(fā)現(xiàn)，隨著迭代數(shù)t的增加，使得在算法初期具有較大的c1 和較小的c2，在算法后期具有較大的c2 和較小的c1。因此，綜合了PSO算法的全局搜索能力和局部搜索能力，提高了算法的運(yùn)行效率。
改進(jìn) PSO算法的流程：
Step1：設(shè)置 PSO 算法的相關(guān)參數(shù)(種群大小、最大迭代數(shù)，隨機(jī)權(quán)重平局值的最大值和最小值，隨機(jī)權(quán)重方差)，隨機(jī)初始化種群中各粒子的位置和速度；
Step2：計(jì)算各個(gè)粒子的適應(yīng)度值，保存各個(gè)粒子的當(dāng)前位置和適應(yīng)值，并比較所有的粒子的適應(yīng)值，將最優(yōu)的賦值于Pg；
Step3：利用式(4)更新粒子的速度和位置；
Step4：利用式(5)和式(6)更新權(quán)重和學(xué)習(xí)因子；
Step5：將各個(gè)粒子的適應(yīng)值和最好的位置進(jìn)行比較，如果粒子的適應(yīng)值較好，則將其視為當(dāng)前的最好位置，并且將當(dāng)前的Pi 和Pg 進(jìn)行更新；
Step6：判斷是否滿足算法停止條件。若滿足，算法停止，輸出最終結(jié)果；否則算法跳轉(zhuǎn)至Step2。
三、齒面測(cè)量路徑優(yōu)化
利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得螺旋錐齒輪齒面測(cè)量點(diǎn)的分布情況，如圖2所示，一共有70個(gè)點(diǎn)。為了驗(yàn)證本文提出算法的性能，分別利用遺傳算法、傳統(tǒng)PSO算法和本文改進(jìn)的PSO算法對(duì)測(cè)量路徑進(jìn)行優(yōu)化分析，對(duì)比三種算法的優(yōu)化結(jié)果。由于算法的優(yōu)化過(guò)程具有一定的隨機(jī)性，為了使比較結(jié)果更有說(shuō)服力，對(duì)三種算法分別獨(dú)立運(yùn)行30次，并取其均值進(jìn)行比較，三種算法的運(yùn)行結(jié)果如表1所示。
圖2 測(cè)量點(diǎn)
表1 三種算法運(yùn)行結(jié)果比較
分析表1對(duì)比結(jié)果可知，本文提出的改進(jìn)PSO算法求得的最優(yōu)路徑優(yōu)于其他兩種算法，傳統(tǒng)PSO次之，遺傳算法的效果最差。此外，對(duì)比算法的運(yùn)算時(shí)間可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的改進(jìn)PSO算法同樣具有最高的運(yùn)算效率。結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn) PSO 算法由于其他兩種算法。
圖3 三種算法迭代對(duì)比
為了能更加直觀的觀察算法的運(yùn)行過(guò)程，圖3給出了三種算法某次運(yùn)行時(shí)的情況對(duì)比。從圖中可以看出傳統(tǒng)PSO 算法很快就陷入了局部最優(yōu)、遺傳算法雖然在開(kāi)始階段可以跳出局部最優(yōu)，但是其收斂能力比其他兩種算法差，本文提出的改進(jìn)PSO算法雖然收斂速度較慢，但具有較小的適應(yīng)度值。進(jìn)一步表明，本文提出的隨機(jī)權(quán)重法和非線性變化學(xué)習(xí)因子，使算法具有較好的全局搜索能力和 局部搜索能力，能跳出局部最優(yōu)化，尋找到真正的最優(yōu)解，提高了算法的運(yùn)行效率。
四、結(jié)論
提出的改進(jìn)PSO算法獲得的測(cè)量路徑明顯短于其他算法，且運(yùn)行時(shí)間較短。因此，本文提出的方法可以有效降低螺旋錐齒輪齒面測(cè)量成本、提高測(cè)量效率，為螺旋錐齒輪齒面測(cè)量路徑優(yōu)化提供有效的參考借鑒。
參考文獻(xiàn)略.